Համակարգային անհավասարության լոգարիթմական հավասարումներ. Լոգարիթմական անհավասարություններ – Գիտելիքի հիպերմարկետ

Լոգարիթմական անհավասարությունների ողջ բազմազանության մեջ առանձին ուսումնասիրվում են փոփոխական հիմքով անհավասարությունները։ Դրանք լուծվում են հատուկ բանաձևի միջոցով, որը ինչ-ինչ պատճառներով հազվադեպ է սովորեցնում դպրոցում.

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

«∨» վանդակի փոխարեն կարող եք տեղադրել ցանկացած անհավասարության նշան՝ քիչ թե շատ: Գլխավորն այն է, որ երկու անհավասարություններում էլ նշանները նույնն են։

Այս կերպ մենք ազատվում ենք լոգարիթմներից և խնդիրը հասցնում ռացիոնալ անհավասարության։ Վերջինս շատ ավելի հեշտ է լուծել, բայց լոգարիթմները դեն նետելիս կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ։ Դրանք կտրելու համար բավական է գտնել ընդունելի արժեքների շրջանակը։ Եթե ​​մոռացել եք լոգարիթմի ODZ-ը, ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կրկնել այն. տե՛ս «Ինչ է լոգարիթմը»:

Ընդունելի արժեքների շրջանակի հետ կապված ամեն ինչ պետք է գրվի և լուծվի առանձին.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Այս չորս անհավասարությունները կազմում են համակարգ և պետք է բավարարվեն միաժամանակ: Երբ գտնվի ընդունելի արժեքների միջակայքը, մնում է այն հատել ռացիոնալ անհավասարության լուծման հետ, և պատասխանը պատրաստ է:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Նախ, եկեք դուրս գրենք լոգարիթմի ODZ-ը.

Առաջին երկու անհավասարությունները ինքնաբերաբար բավարարվում են, բայց վերջինը պետք է դուրս գրվի: Քանի որ թվի քառակուսին զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թիվն ինքնին զրո է, մենք ունենք.

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ը բոլոր թվերն են, բացի զրոյից՝ x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞): Այժմ մենք լուծում ենք հիմնական անհավասարությունը.

Մենք անցում ենք կատարում լոգարիթմական անհավասարությունից ռացիոնալին: Սկզբնական անհավասարությունն ունի «պակաս» նշան, ինչը նշանակում է, որ ստացված անհավասարությունը պետք է ունենա նաև «պակաս» նշան: Մենք ունենք.

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Այս արտահայտության զրոներն են՝ x = 3; x = −3; x = 0. Ընդ որում x = 0-ը երկրորդ բազմակի արմատն է, ինչը նշանակում է, որ դրա միջով անցնելիս ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում։ Մենք ունենք.

Ստանում ենք x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞): Այս հավաքածուն ամբողջությամբ պարունակվում է լոգարիթմի ODZ-ում, ինչը նշանակում է, որ սա է պատասխանը:

Լոգարիթմական անհավասարությունների փոխակերպում

Հաճախ սկզբնական անհավասարությունը տարբերվում է վերը նշվածից: Սա հեշտությամբ կարելի է ուղղել՝ օգտագործելով լոգարիթմների հետ աշխատելու ստանդարտ կանոնները. տե՛ս «Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները»: Մասնավորապես.

1. Ցանկացած թիվ կարող է ներկայացվել որպես տրված հիմքով լոգարիթմ;
2. Նույն հիմքերով լոգարիթմների գումարն ու տարբերությունը կարելի է փոխարինել մեկ լոգարիթմով։

Առանձին-առանձին ուզում եմ հիշեցնել ընդունելի արժեքների շրջանակի մասին։ Քանի որ սկզբնական անհավասարության մեջ կարող են լինել մի քանի լոգարիթմներ, անհրաժեշտ է գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի VA-ն: Այսպիսով, լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ընդհանուր սխեման հետևյալն է.

1. Գտե՛ք անհավասարության մեջ ներառված յուրաքանչյուր լոգարիթմի VA-ն.
2. Կրճատել անհավասարությունը ստանդարտի` օգտագործելով լոգարիթմների գումարման և հանման բանաձևերը.
3. Ստացված անհավասարությունը լուծե՛ք վերը նշված սխեմայով։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Գտնենք առաջին լոգարիթմի սահմանման տիրույթը (DO).

Մենք լուծում ենք միջակայքի մեթոդով: Գտնելով համարիչի զրոները.

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Այնուհետև - հայտարարի զրոները.

x − 1 = 0;
x = 1.

Կոորդինատների սլաքի վրա նշում ենք զրոներ և նշաններ.

Մենք ստանում ենք x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞): Երկրորդ լոգարիթմը կունենա նույն VA-ն: Եթե ​​ինձ չեք հավատում, կարող եք ստուգել: Այժմ մենք փոխակերպում ենք երկրորդ լոգարիթմը, որպեսզի հիմքը լինի երկու.

Ինչպես տեսնում եք, եռյակները հիմքում և լոգարիթմի դիմաց կրճատվել են։ Ստացանք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ։ Եկեք դրանք գումարենք.

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Մենք ստացանք ստանդարտ լոգարիթմական անհավասարություն: Մենք ազատվում ենք լոգարիթմներից՝ օգտագործելով բանաձևը. Քանի որ սկզբնական անհավասարությունը պարունակում է «պակաս» նշան, արդյունքում ստացված ռացիոնալ արտահայտությունը նույնպես պետք է լինի զրոյից փոքր: Մենք ունենք.

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Մենք ստացանք երկու հավաքածու.

1. ՕՁ՝ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Թեկնածուի պատասխանը՝ x ∈ (−1; 3).

Մնում է հատել այս բազմությունները. մենք ստանում ենք իրական պատասխանը.

Մեզ հետաքրքրում է բազմությունների խաչմերուկը, ուստի մենք ընտրում ենք ընդմիջումներ, որոնք ստվերված են երկու սլաքների վրա: Մենք ստանում ենք x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - բոլոր կետերը ծակված են:

Անհավասարությունը կոչվում է լոգարիթմական, եթե այն պարունակում է լոգարիթմական ֆունկցիա։

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման մեթոդները ոչնչով չեն տարբերվում, բացառությամբ երկու բանի.

Նախ, երբ լոգարիթմական անհավասարությունից անցնելով ենթալոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարությանը, պետք է. հետևեք ստացված անհավասարության նշանին. Այն ենթարկվում է հետևյալ կանոնին.

Եթե ​​լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը $1$-ից մեծ է, ապա լոգարիթմական անհավասարությունից ենթալոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարությանը անցնելիս անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ եթե $1$-ից պակաս է, ապա այն փոխվում է հակառակի։ .

Երկրորդ, ցանկացած անհավասարության լուծումը միջակայք է, և, հետևաբար, ենթլոգարիթմական ֆունկցիաների անհավասարությունը լուծելու վերջում անհրաժեշտ է ստեղծել երկու անհավասարությունների համակարգ. իսկ երկրորդը կլինի լոգարիթմական անհավասարության մեջ ներառված լոգարիթմական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթի միջակայքը։

Պրակտիկա.

Լուծենք անհավասարությունները.

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Լոգարիթմի հիմքը $2>1$ է, ուստի նշանը չի փոխվում։ Օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը, մենք ստանում ենք.

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )