ლოგარითმული უტოლობების წესები. ყველაფერი ლოგარითმული უტოლობების შესახებ

მათთან არის ლოგარითმები შიგნით.

მაგალითები:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული უტოლობა:

ჩვენ უნდა შევეცადოთ შევამციროთ ნებისმიერი ლოგარითმული უტოლობა ფორმამდე \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (სიმბოლო \(˅\) ნიშნავს ნებისმიერს). ეს ტიპი საშუალებას გაძლევთ თავიდან აიცილოთ ლოგარითმები და მათი საფუძვლები, გადავიდეთ ლოგარითმების ქვეშ გამონათქვამების უთანასწორობაზე, ანუ ფორმაზე \(f(x) ˅ g(x)\).

მაგრამ ამ გადასვლისას არის ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი დახვეწილობა:
\(-\) თუ არის რიცხვი და ის მეტია 1-ზე, უტოლობის ნიშანი იგივე რჩება გადასვლისას,
\(-\) თუ ფუძე არის 0-ზე მეტი, მაგრამ 1-ზე ნაკლები რიცხვი (იწევს ნულსა და ერთს შორის), მაშინ უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, ე.ი.

მაგალითები:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \ (x<8\) გამოსავალი: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) პასუხი: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)2x-4>0\\x+1 > 0\ბოლო (შემთხვევები)\) \(\ დასაწყისი(შემთხვევები)2x>4\\x > -1\ბოლო(შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\დაწყება(შემთხვევები)x>2\\x > -1\დასრულება (შემთხვევები) \) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(x\in(2;\infty)\) გამოსავალი: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) პასუხი: \((2;5]\)

ძალიან მნიშვნელოვანია!ნებისმიერ უტოლობაში, ფორმიდან \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) გადასვლა ლოგარითმებში გამოსახულებების შედარებაზე შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:

მაგალითი . უტოლობის ამოხსნა: \(\log\)\(≤-1\)

გამოსავალი:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	მოდით დავწეროთ ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	ვხსნით ფრჩხილებს და მივაქვთ.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	ჩვენ ვამრავლებთ უტოლობას \(-1\-ზე), არ გვავიწყდება შედარების ნიშნის შებრუნება.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	ავაშენოთ რიცხვითი წრფე და აღვნიშნოთ მასზე წერტილები \(\frac(7)(3)\) და \(\frac(3)(2)\). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ წერტილი ამოღებულია მნიშვნელიდან, მიუხედავად იმისა, რომ უტოლობა არ არის მკაცრი. ფაქტია, რომ ეს წერტილი არ იქნება გამოსავალი, რადგან უტოლობაში ჩანაცვლებისას მიგვიყვანს ნულზე გაყოფამდე.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	ახლა ჩვენ გამოვსახავთ ODZ-ს იმავე ციფრულ ღერძზე და პასუხად ვწერთ ინტერვალს, რომელიც ხვდება ODZ-ში.
	ჩვენ ვწერთ საბოლოო პასუხს.

პასუხი: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

მაგალითი . ამოხსენით უტოლობა: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

გამოსავალი:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	მოდით დავწეროთ ODZ.
ODZ: \(x>0\)	გადავიდეთ გამოსავალზე.
გამოსავალი: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	აქ გვაქვს ტიპიური კვადრატულ-ლოგარითმული უტოლობა. მოდით გავაკეთოთ.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	ჩვენ ვაფართოებთ უტოლობის მარცხენა მხარეს .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	ახლა ჩვენ უნდა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს - x. ამისათვის გადავიდეთ , რომელსაც აქვს იგივე გამოსავალი და გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.
\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	ტრანსფორმაცია \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	მოდით გადავიდეთ არგუმენტების შედარებაზე. ლოგარითმების საფუძვლები მეტია \(1\-ზე), ამიტომ უტოლობების ნიშანი არ იცვლება.
\(\მარცხნივ[ \დაწყება(შეიკრიბა) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	მოდით გავაერთიანოთ უტოლობის ამოხსნა და ODZ ერთ ფიგურაში.
	დავწეროთ პასუხი.

პასუხი: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

როგორ ფიქრობთ, ერთიან სახელმწიფო გამოცდამდე ჯერ კიდევ არის დრო და გექნებათ დრო მოსამზადებლად? ალბათ ეს ასეა. მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, რაც უფრო ადრე დაიწყებს სტუდენტი მომზადებას, მით უფრო წარმატებით აბარებს გამოცდებს. დღეს გადავწყვიტეთ სტატია მივუძღვნათ ლოგარითმულ უტოლობას. ეს არის ერთ-ერთი ამოცანა, რაც ნიშნავს დამატებითი კრედიტის მიღების შესაძლებლობას.

უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? ამის იმედი ნამდვილად გვაქვს. მაგრამ მაშინაც კი, თუ თქვენ არ გაქვთ პასუხი ამ კითხვაზე, ეს არ არის პრობლემა. იმის გაგება, თუ რა არის ლოგარითმი, ძალიან მარტივია.

რატომ 4? თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი 3 ამ ხარისხზე, რომ მიიღოთ 81. როგორც კი გაიგებთ პრინციპს, შეგიძლიათ გააგრძელოთ უფრო რთული გამოთვლები.

თქვენ რამდენიმე წლის წინ უთანასწორობა გამოიარეთ. და მას შემდეგ მუდმივად ხვდებით მათ მათემატიკაში. თუ უთანასწორობის გადაჭრის პრობლემა გაქვთ, გადახედეთ შესაბამის განყოფილებას.
ახლა, როდესაც ინდივიდუალურად გავეცანით ცნებებს, გადავიდეთ მათ ზოგადად განხილვაზე.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობა.

უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობები ამ მაგალითით არ შემოიფარგლება, არსებობს კიდევ სამი, მხოლოდ განსხვავებული ნიშნებით. რატომ არის ეს საჭირო? უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ ამოხსნათ უტოლობები ლოგარითმებით. ახლა მოვიყვანოთ უფრო გამოსადეგი მაგალითი, რომელიც ჯერ კიდევ საკმაოდ მარტივია, მოგვიანებით დავტოვებთ რთულ ლოგარითმულ უტოლობას.

როგორ მოვაგვაროთ ეს? ეს ყველაფერი იწყება ODZ-ით. ღირს ამის შესახებ მეტი იცოდეთ, თუ გსურთ ყოველთვის მარტივად მოაგვაროთ ნებისმიერი უთანასწორობა.

რა არის ODZ? ODZ ლოგარითმული უტოლობებისთვის

აბრევიატურა ნიშნავს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს. ეს ფორმულირება ხშირად ჩნდება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში. ODZ გამოგადგებათ არა მხოლოდ ლოგარითმული უტოლობების შემთხვევაში.

კიდევ ერთხელ გადახედეთ ზემოთ მოცემულ მაგალითს. ჩვენ განვიხილავთ ODZ-ს მასზე დაყრდნობით, რათა გაიგოთ პრინციპი და ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა არ აჩენს კითხვებს. ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ 2x+4 უნდა იყოს ნულზე მეტი. ჩვენს შემთხვევაში ეს ნიშნავს შემდეგს.

ეს რიცხვი, განსაზღვრებით, დადებითი უნდა იყოს. ამოხსენით ზემოთ წარმოდგენილი უტოლობა. ეს შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად, აქ ცხადია, რომ X არ შეიძლება იყოს 2-ზე ნაკლები. უტოლობის გამოსავალი იქნება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრა.
ახლა გადავიდეთ უმარტივესი ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნაზე.

თავად ლოგარითმებს ვხსნით უტოლობის ორივე მხრიდან. რას გვიტოვებს ეს? მარტივი უთანასწორობა.

არ არის ძნელი გამოსავალი. X უნდა იყოს -0.5-ზე მეტი. ახლა ჩვენ ვაერთებთ ორ მიღებულ მნიშვნელობას სისტემაში. ამრიგად,

ეს იქნება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი განსახილველი ლოგარითმული უთანასწორობისთვის.

რატომ გვჭირდება საერთოდ ODZ? ეს არის შესაძლებლობა, აღმოფხვრას არასწორი და შეუძლებელი პასუხები. თუ პასუხი არ არის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში, მაშინ პასუხს უბრალოდ აზრი არ აქვს. ეს უნდა გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში, რადგან ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ხშირად არის საჭირო ODZ-ს მოძიება და ეს ეხება არა მხოლოდ ლოგარითმულ უტოლობებს.

ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი

გამოსავალი რამდენიმე ეტაპისგან შედგება. პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ODZ-ში ორი მნიშვნელობა იქნება, ეს ზემოთ განვიხილეთ. შემდეგ ჩვენ თავად უნდა გადავჭრათ უტოლობა. გადაწყვეტის მეთოდები შემდეგია:

• მულტიპლიკატორის ჩანაცვლების მეთოდი;
• დაშლა;
• რაციონალიზაციის მეთოდი.

სიტუაციიდან გამომდინარე, ღირს ზემოთ ჩამოთვლილი ერთ-ერთი მეთოდის გამოყენება. გადავიდეთ პირდაპირ გამოსავალზე. მოდით გამოვავლინოთ ყველაზე პოპულარული მეთოდი, რომელიც შესაფერისია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანების გადასაჭრელად თითქმის ყველა შემთხვევაში. შემდეგ განვიხილავთ დაშლის მეთოდს. ეს შეიძლება დაგეხმაროთ, თუ შეხვდებით განსაკუთრებით სახიფათო უთანასწორობას. ასე რომ, ალგორითმი ლოგარითმული უტოლობის გადასაჭრელად.

გადაწყვეტილებების მაგალითები :

ტყუილად არ ავიღეთ ზუსტად ეს უთანასწორობა! ყურადღება მიაქციეთ ბაზას. გახსოვდეთ: თუ ის ერთზე მეტია, ნიშანი იგივე რჩება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნისას; წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ უთანასწორობის ნიშანი.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ უთანასწორობას:

ახლა ჩვენ ვამცირებთ მარცხენა მხარეს განტოლების ფორმამდე ნულის ტოლი. "ნაკლები" ნიშნის ნაცვლად ვსვამთ "ტოლებს" და ვხსნით განტოლებას. ამრიგად, ჩვენ ვიპოვით ODZ-ს. ვიმედოვნებთ, რომ ასეთი მარტივი განტოლების ამოხსნის პრობლემა არ შეგექმნებათ. პასუხებია -4 და -2. ეს ყველაფერი არ არის. თქვენ უნდა აჩვენოთ ეს წერტილები გრაფიკზე, განათავსეთ "+" და "-". რა უნდა გაკეთდეს ამისთვის? ჩაანაცვლეთ რიცხვები ინტერვალებიდან გამოსახულებაში. სადაც მნიშვნელობები დადებითია, ჩვენ ვაყენებთ "+".

უპასუხე: x არ შეიძლება იყოს -4-ზე მეტი და -2-ზე ნაკლები.

ჩვენ ვიპოვეთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მხოლოდ მარცხენა მხარისთვის, ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მარჯვენა მხარისთვის. ეს ბევრად უფრო ადვილია. პასუხი: -2. ჩვენ ვკვეთთ ორივე მიღებულ უბანს.

და მხოლოდ ახლა ვიწყებთ თავად უთანასწორობის განხილვას.

მაქსიმალურად გავამარტივოთ, რომ მისი ამოხსნა უფრო ადვილი იყოს.

ჩვენ კვლავ ვიყენებთ ხსნარში ინტერვალის მეთოდს. მოდი გამოვტოვოთ გამოთვლები, ამით ყველაფერი უკვე ნათელია წინა მაგალითიდან. უპასუხე.

მაგრამ ეს მეთოდი შესაფერისია, თუ ლოგარითმულ უტოლობას აქვს იგივე საფუძვლები.

სხვადასხვა ფუძით ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა მოითხოვს თავდაპირველ შემცირებას იმავე ფუძემდე. შემდეგი, გამოიყენეთ ზემოთ აღწერილი მეთოდი. მაგრამ არის უფრო რთული შემთხვევა. განვიხილოთ ლოგარითმული უტოლობების ერთ-ერთი ყველაზე რთული ტიპი.

ლოგარითმული უტოლობა ცვლადი ფუძით

როგორ მოვაგვაროთ უტოლობები ასეთი მახასიათებლებით? დიახ, და ასეთი ადამიანები შეიძლება ნახოთ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე. უთანასწორობის შემდეგი გზით გადაჭრა ასევე სასარგებლო გავლენას მოახდენს თქვენს სასწავლო პროცესზე. განვიხილოთ საკითხი დეტალურად. მოდით, თავი დავანებოთ თეორიას და პირდაპირ პრაქტიკაზე გადავიდეთ. ლოგარითმული უტოლობების ამოსახსნელად საკმარისია ერთხელ გაეცნოთ მაგალითს.

წარმოდგენილი ფორმის ლოგარითმული უტოლობის ამოსახსნელად საჭიროა მარჯვენა მხარის შემცირება იმავე ფუძის მქონე ლოგარითმზე. პრინციპი წააგავს ეკვივალენტურ გადასვლებს. შედეგად, უთანასწორობა ასე გამოიყურება.

სინამდვილეში, რჩება მხოლოდ უტოლობათა სისტემის შექმნა ლოგარითმების გარეშე. რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებით გადავდივართ უტოლობების ეკვივალენტურ სისტემაზე. თქვენ თავად გაიგებთ წესს, როდესაც ჩაანაცვლებთ შესაბამის მნიშვნელობებს და თვალყურს ადევნებთ მათ ცვლილებებს. სისტემას ექნება შემდეგი უტოლობა.

რაციონალიზაციის მეთოდის გამოყენებისას უტოლობების ამოხსნისას უნდა გახსოვდეთ შემდეგი: ერთი უნდა გამოვაკლოთ ფუძეს, x, ლოგარითმის განმარტებით, აკლდება უტოლობის ორივე მხარეს (მარჯვნივ მარცხნიდან), მრავლდება ორი გამოხატულება. და დააყენეთ ორიგინალური ნიშნის ქვეშ ნულთან მიმართებაში.

შემდგომი გადაწყვეტა ხორციელდება ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, აქ ყველაფერი მარტივია. თქვენთვის მნიშვნელოვანია, გაიგოთ განსხვავებები გადაწყვეტის მეთოდებში, მაშინ ყველაფერი ადვილად დაიწყებს მუშაობას.

ლოგარითმულ უტოლობებში ბევრი ნიუანსია. მათგან უმარტივესი საკმაოდ მარტივი მოსაგვარებელია. როგორ შეგიძლიათ გადაჭრათ თითოეული მათგანი უპრობლემოდ? თქვენ უკვე მიიღეთ ყველა პასუხი ამ სტატიაში. ახლა წინ დიდი პრაქტიკა გაქვთ. გამუდმებით ივარჯიშეთ გამოცდაზე სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრაში და შეძლებთ მიიღოთ უმაღლესი ქულა. წარმატებებს გისურვებთ თქვენს რთულ ამოცანაში!

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

„∨“ ჩამრთველის ნაცვლად, შეგიძლიათ დააყენოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ამ გზით ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

ყველაფერი, რაც დაკავშირებულია მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან, ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა დაკმაყოფილდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იქნა ნაპოვნი, რჩება მხოლოდ მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის ამოხსნით - და პასუხი მზად არის.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა სრულდება ავტომატურად, მაგრამ ბოლო უნდა ამოიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვაკეთებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობას აქვს "ნაკლები" ნიშანი, რაც ნიშნავს, რომ მიღებულ უტოლობას ასევე უნდა ჰქონდეს "ნაკლები" ნიშანი. ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

ამ გამოხატვის ნულებია: x = 3; x = −3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების გარდაქმნა

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის მარტივად გამოსწორება შესაძლებელია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების გამოყენებით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის VA-ს პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა შემდეგია:

1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის VA;
2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
3. ამოხსენით მიღებული უტოლობა ზემოთ მოცემული სქემის გამოყენებით.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ვიპოვოთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (DO):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატთა ისრზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). მეორე ლოგარითმს ექნება იგივე VA. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეული ძირში და ლოგარითმის წინ შემცირდა. მივიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით დავამატოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულის გამოყენებით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველი უტოლობა შეიცავს "ნაკლები" ნიშანს, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. კანდიდატის პასუხი: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების კვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ინტერვალებს, რომლებიც დაჩრდილულია ორივე ისრზე. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.